数二考不考柯西极限存在准则（极限存在准则）

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1、准则Ⅰ　夹逼定理　定理 设时，有.若

1、则必有

2、对于的极限过程类似地也有夹逼定理成立.

3、　　准则Ⅱ　单调有界收敛定理　单调有界变量必有极限.

4、　　函数极限与数列极限的关系：

5、　　定理　对任意的数列，

6、当时，都有，这里a可为有限数或为∞.

7、　　柯西收敛准则：

8、　　定理　　(1)　 当且，时，有成立.

9、　　(2) 当且

10、时，有成立.

11、答疑解惑

12、　　问题1　对吗？

13、　　答：　错，因为在和式中，n是变化的，所以运用四则运算法则运算是错误的.正确的做法是用夹逼定理：

14、由于

15、，

16、，

17、而

18、　　根据夹逼定理得

19、　　问题2　如何用单调收敛定理求极限？

20、　　思路：首先运用单调收敛定理证明该极限存在，在若干简单的情形，可以用归纳法证明该数列单调(增或减)并有界，在收敛性得到证明之后，再用数列通项的表达式求出这个极限.

21、例1　设

22、　　求证：

23、　　解：　显然有于是

24、易见单调增加，单调减少，又因为

25、所以和都有界，于是据单调收敛定理知和都存在.

26、令，，因为，据极限的保号性可得，

27、在中令，得，从而A＝B.

28、　　例2　设为正数，求证

29、　　证明　不妨设，于是

30、　　　　　　　　　=

31、其中m是一个正的常数.而，所以由夹逼定理得

32、　　　　　　　

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